el escéptico
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Introducción
S
egún la Encyclopedia of Claims, Frauds, and
Hoaxes of the Occult and Supernatural de la página
ofi cial
(1)
de James Randi, el término «percepción
extrasensorial» (PES) fue acuñado por J. B. Rhine.
La PES recogería un amplio conjunto de habilidades
extraordinarias que se desarrollan sin el concurso
de los sentidos conocidos: telepatía, clarividencia,
clariaudiencia, precognición, etc. Rhine trabajó con las
conocidas cartas Zener (el nombre proviene de Karl
Zener), con las que se ha pretendido en distintas épocas
y lugares probar la existencia de la telepatía. Puesto
que la carga de la prueba corresponde a quien realiza la
afi rmación, no será nuestro objetivo demostrar que la
telepatía no existe, tan sólo mostraremos que cualquier
experimento con la baraja Zener es difícilmente válido.
Ponemos, pues, la duda en el diseño del experimento y,
por tanto, en sus conclusiones.
La baraja Zener
Las cartas Zener se constituyen a partir de cinco palos
distintos (Imagen 1): símbolo de suma, cuadrado,
círculo, líneas onduladas y estrella. Aunque la baraja
puede formarse por cualquier múltiplo de cinco, lo más
habitual es una baraja de 25 cartas, es decir, cinco cartas
de cada palo. Con el fi n de fi jar variables nos centramos
exclusivamente en un experimento: una persona mira
una carta y procura trasmitirl su contenido a otra
persona por medio de su mente. La forma en que este
procedimiento se realiza puede ser muy variado: las dos
personas frente a frente, de espaldas, el que no lee la carta
con los ojos tapados, sentados, de pie, en habitaciones
distintas, etc. Uno de los problemas de los experimentos
realizados por la mayoría de los parapsicólogos es que
raramente se controla con claridad la forma en que se
realiza esta «transmisión». En un experimento científi co
deben dejarse fi jas una serie de variables (ceteris paribus)
y dejar claro cuáles se medirán.
En este experimento, los parapsicólogos usan el
siguiente hecho: «la probabilidad de acertar una carta es
de un quinto». Es cierto, si tengo que elegir una carta
entre cinco posibilidades, la probabilidad de acierto es
Artículo
ES AZAR, NO LO LLAMES TELEPATÍA
Eugenio Manuel Fernández Aguilar
Licenciado en Física y profesor de Secundaria
(1) URL:
http://www.randi.org/encyclopedia/..
Cartas Zener. (Autor)
del 20% (1/5). A partir de aquí afi rman: «por tanto, lo
esperado por el azar tras sacar las 25 cartas es acertar 5,
puesto que el 20% de 25 es 5». También es cierto que
el 20% de 25 es 5 (aprobado en matemáticas de último
ciclo de Primaria), pero no que sea lo esperado por el
azar (suspenso en último ciclo de Secundaria). Aquí
está el error de razonamiento que induce a afi rmar la
existencia de la telepatía. Es lo que vamos a estudiar en
este artículo.
¿Qué es el azar?
Realizo con mis alumnos cada año la misma experiencia
clarifi cadora:
Se divide la clase en cuatro grupos, dos grupos
tiran una moneda y apuntan los resultados (cara
o cruz) y los otros dos imaginan que tiran la
moneda y apuntan los resultados que creen que
saldrían.
Tras el pequeño experimento, les pido que asignen un
nombre a las hojas de resultados y «adivino» cuáles son
los grupos que hicieron el experimento real y cuáles
inventaron los resultados. Sin excepción, acierto quiénes
tiraron la moneda y quiénes no (pido disculpas por esta
falta de humildad). Primero intento convencerles de que
tengo poderes paranormales pero, como me conocen
muy bien, no lo consigo. Me encanta verlos nerviosos
preguntando cómo lo he sabido. En ese momento están
entendiendo que hay «truco», es decir, que hay una
explicación racional, empiezan a abrazar la ciencia.
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La razón de mi supuesto poder sobrenatural está en la
palabra «azar» y la ventaja que tengo sobre ellos en su
conocimiento. Antes de que realicen el experimento los
sugestiono: «tened en cuenta que hay una probabilidad
del 50 % de que salga cara o de que salga cruz». Me
acerco a los que imaginan que tiran la moneda y les repito
(antes de que empiecen) esta frase en varias ocasiones,
añadiendo «cara cruz cara cruz cara cruz». Esto hace que
las confi guraciones fi nales de caras y cruces entre los dos
experimentos sean muy diferentes. Nuestro cerebro no es
capaz de admitir largas secuencias de caras o de cruces
seguidas, pero el azar trabaja de otro modo, qué le vamos
a hacer. Los sucesos elementales que conforman el ensayo
«tirar una moneda repetidas veces» son independientes
entre sí, por tanto no hay inconveniente en que salgan
estas secuencias de varias caras o cruces unas detrás de
otras.
Secuencia real típica:
CCCCCXXXCXCCXCXXXCCXXXXXXXC
Secuencia imaginaria típica:
CCXCXCXCCCXXCXXCCXCXCCXCXXX
Con este experimento procuro que entiendan lo que es
una experiencia aleatoria, en la que el azar juega un papel
fundamental. En este tipo de experiencia no se sabe a
priori qué suceso ocurrirá
(2)
. El caso de la baraja Zener
es idéntico: hay cinco palos y puede salir cualquiera,
es decir, si levantamos una carta, es completamente
aleatorio cuál de ellas saldrá. Pero los experimentos
aleatorios pueden tratarse matemáticamente atendiendo
a las probabilidades que conforman los respectivos
sucesos elementales.
Tratamiento estadístico de experimentos
con la baraja Zener
Número de palos: 5.
Número de cartas: 25 (5 de cada palo).
(2) Nota para profesores: Esta experiencia es magnífi ca para introducir
la Ley de los Grandes Números. La frecuencia relativa de los
sucesos elementales se acerca tanto más a la probabilidad cuanto
mayor es el número de ensayos. Al tirar la moneda unas pocas
veces difícilmente se obtendrán 50% de caras y 50% de cruces. Si
el número de tiradas supera el millar se acercará bastante más.
Se puede hacer una pequeña aplicación con una hoja de cálculo,
generando números aleatorios, para ilustrar este resultado. Por
ejemplo, se realiza un generador que lance 10 monedas, 100
monedas y 1000 monedas. Las fl uctuaciones en el último caso
son menores. Hay un ejemplo en http://www.box.net/shared/
se4jfi 8gr1.
Procedimiento: tras barajarla, una persona va sacando
una detrás de otra y otra persona trata de adivinarla
mediante una supuesta interacción telepática. Se apunta
«A» o «F» según sea acierto o fallo.
Objetivo: mostrar que los resultados del experimento real
pueden ser explicados con total normalidad mediante
el tratamiento teórico del azar, es decir, los resultados
obtenidos son acordes a lo esperado por el azar.
Metodología: la idea es ver cuál es la probabilidad de
acertar un número «k» de cartas tras sacar «n» cartas.
Se calcula mediante pasos (sacamos una carta, dos, etc.)
para luego generalizar al caso de 25 cartas o cualquier
otro número.
Sacamos la primera carta
Al sacar la primera carta es más que evidente que
tendremos una probabilidad de acierto de 1/5 y una
probabilidad de error de 4/5. Es decir, podemos decir
el palo que queramos al azar y nuestra decisión estará
gobernada por las probabilidades anteriores que, en
porcentaje, sería del 20 % de probabilidad de éxito y 80
% de probabilidad de fracaso.
1 carta
80%
20%
0%
10%
20%
30%
40%
50%
60%
70%
80%
90%
0
1
Aciertos
Sacamos la segunda carta
Tras sacar la primera carta, podemos seguir dos
caminos: o hubo acierto o fallo. De cada una de éstas,
podremos tener, de nuevo, o acierto o fallo. Es decir, las
posibilidades son: AA, AF, FF, FA. La probabilidad de
cada una de estas confi guraciones se calculará mediante
producto de las probabilidades independientes. De estas
2 cartas
64%
32%
4%
0%
10%
20%
30%
40%
50%
60%
70%
0
1
2
Aciertos
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cuatro confi guraciones se deducen tres opciones: 0
aciertos (FF), 1 acierto (AF y FA) o 2 aciertos (AA).
Tras sacar dos cartas la probabilidad de no acertar
ninguna carta ha bajado considerablemente (del 80%
al 64%). La probabilidad de acertar una carta, por el
contrario, ha subido desde el 20% al 32%. Además,
aparece una nueva posibilidad, la de obtener 2 aciertos,
con una probabilidad del 4%.
Tres cartas, cuatro cartas, etc.
Es fácil entender que a medida que se van sacando más
cartas el abanico de posibilidades aumenta, lo cual produce
un baile entre los porcentajes. La clave para entender este
punto es que la suma de todas las probabilidades debe ser
siempre 1 (100% si hablamos de porcentajes).
6 cartas
26,21%
39,32%
24,58%
8,19%
1,54%
0,15%
0,01%
0%
5%
10%
15%
20%
25%
30%
35%
40%
45%
0
1
2
3
4
5
6
Aciertos
4 cartas
40,96%
40,96%
15,36%
2,56%
0,16%
0%
5%
10%
15%
20%
25%
30%
35%
40%
45%
0
1
2
3
4
Aciertos
Donde «n» es el número de cartas sacadas, «k» es
el número de aciertos del que se desea calcular la
probabilidad P(k). La utilidad de esta expresión es que
nos sirve para una baraja de 10 cartas (n=10), 20 cartas
(n=20) o del número que se desee. Como nuestro caso
es de una baraja de 25 cartas, se fi ja pues n=25 y se van
dando valores a k desde 0 (cero aciertos) hasta 25. La
gráfi ca de la siguiente página muestra los resultados.
Entre un número de 15 aciertos y 25 aciertos la probabilidad
no es cero, lo que ocurre es que la probabilidad es muy
baja(2).
De aquí se pueden sacar algunas lecturas interesantes:
Efectivamente, la moda está en 5 aciertos. Existe
•
una probabilidad aproximada del 20% de acertar
5 cartas, superior a cualquier otro número de
aciertos.
Pero, hay una probabilidad aproximada del 38 %
•
de sacar cualquier número de aciertos superior
a 5 (se calcula, lógicamente, sumando las
probabilidades que van desde 6 aciertos hasta 25
aciertos). Es decir, es más probable sacar más de
5 aciertos que sacar exactamente 5 aciertos.
De la misma forma, hay una probabilidad
•
aproximada del 42 % de sacar menos de 5
Cuando sacamos 4 cartas, se iguala la probabilidad de obtener
0 aciertos con la de obtener un acierto. Pero la probabilidad
de sacar 0 aciertos sigue bajando, así, tras sacar 6 cartas, es
más probable es sacar 1 acierto que no obtener ninguno. La
probabilidad de acertar 3 ó 4 cartas también aumenta al sacar
6 cartas.
Un número cualquiera de cartas: distribución binomial
Cualquier matemático, físico o conocedor de las
distribuciones estadísticas básicas se habrá dado cuenta de
que estamos ante una «distribución binomial», que no es
más que aquella que describe las distintas probabilidades
de un experimento aleatorio en el que se pueden defi nir
dos sucesos elementales contrarios. Es nuestro caso:
A (acierto) —> P(A)=1/5
F (fallo) —> P(F)=4/5
Sustituyendo en la expresión general
(1)
de la distribución
binomial tendremos:
(1) La expresión de la distribución general es, donde
p y q son las probabilidades de los dos sucesos contrarios. También
se puede llegar a nuestro resultado por recurrencia, teniendo en
cuenta que estamos ante combinaciones ordinarias (no importa el
orden y no pueden repetirse los elementos).
(2) Esta gráfi ca muestra la distribución de probabilidades, es decir,
la tendencia que tendría la frecuencia relativa de cada suceso
(número de aciertos). A mayor número de ensayos, más se acercará
el experimento real a la teoría (Ley de los Grandes Números). En
una emisión de Cuarto Milenio (noviembre de 2008) hicieron un
estudio sobre PES con seis individuos, un número absolutamente
reducido que sólo puede considerarse como «anécdota», no como
experimento científi co.
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aciertos. De nuevo, es más probable sacar menos
de 5 aciertos que sacar exactamente 5 aciertos.
Curiosidad 1
•
: hay mayor probabilidad de sacar
11 aciertos que de no sacar ninguno.
Curiosidad 2
•
: es más probable obtener 9 aciertos
que obtener 1 acierto.
Conclusiones
En los estudios de parapsicología se suele confundir la
moda con lo esperado por el azar, como muestra este
tratamiento básico de probabilidades. Por esta razón,
los experimentos con la baraja Zener reproducen los
resultados esperables de una experiencia aleatoria.
Hemos conseguido demostrar que se puede sacar un
número distinto de aciertos a la moda (5), sin que deba
extrañar. Es decir, lo que se espera por el azar es el
junto de resultados que se aprecia en la gráfi ca. Si se
hace un experimento de este tipo y resulta que el 40%
de individuos ha sacado más de 5 aciertos, la frase de
25 cartas
0,38%
2,36%
7,08%
13,58%
18,67%
19,60%
16,33%
11,08%
6,23%
2,94%
1,18%
0,40%
0,12%
0,03%
0,01%
0,00%
0,00%
0,00%
0,00%
0,00%
0,00%
0,00%
0,00%
0,00%
0,00%
0,00%
0%
5%
10%
15%
20%
25%
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
Aciertos
Probabilidad
los parapsicólogos «ha habido más aciertos que los
esperados por el azar» muestra un desconocimiento pleno
del tratamiento estadístico del ensayo. Si obtenemos un
40% de sujetos que aciertan más de 5 cartas, hay que
decir: «es lo esperado por el azar», no que son telépatas.
Es azar, no lo llames telepatía.
Referencias
Álvarez, Carlos (2007), La parapsicología, ¡vaya
timo!, Ed. Laetoli.
Wiseman, Richard (2008), Rarología. Temas de hoy.
Shremer, Michael (2008), Por qué creemos en cosas
raras. Ed. Alba
«Es azar, no lo llames telepatía», está publicado en
Ciencia en el XXI:
http://eumafeag.blogspot.com/2009/04/es-azar-no-
lo-llames-telepatia.html